衡水万卷周测（七）理科数学 圆锥曲线的综合应用 考试时间：120分钟 姓名：__________班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 得分 一 、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.已知平面，，两两互相垂直，点∈，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D. 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 已知F1.F2为椭圆的左.右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于,则满足条件的点M有( )个. A.0 B.1 C.2 D.4 已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( ) A． B． C． D． 已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是( ) A. （）
B. （1，）
C. （）
D. （1，）
设为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 （2015浙江高考真题）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）
A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知F是双曲线的左焦点，是双曲线外一点，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），
. 如图所示，直线与双曲线C:的渐近线交于两点，记，.任取双曲线C上的点，若（.），则.满足的一个等式是 . 若椭圆和是焦点相同且的两个椭圆，有以下几个命题：①一定没有公共点；
②；
③；
④，其中，所有真命题的序号为 。
三 、解答题（本大题共5小题，共90分）
已知椭圆C1 ：的离心率为，直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
(3)设C2与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C2上，且满足，求的取值范围. 如图，设F(－c, 0)是椭圆的左焦点，直线l：x＝－与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A, B。
①证明：∠AFM＝∠BFN；
②求△ABF面积的最大值。
已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点.点和点）使等式成立. （1）
求双曲线的方程；
（II）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围. 已知双曲线分别为C的左右焦点.P为C右支上一点，且使. (I)求C的离心率e ；
(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得恒成立.若存在，求出λ的值；
若不存在，请说明理由. 已知抛物线:的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且 （Ⅰ）
求和抛物线的方程; （Ⅱ）过上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到直线 的距离取得最大值时，四边形的面积 衡水万卷周测（七）答案解析 一 、选择题 D【解析】由可得, . A B【解析】由题意有，即，又，消去整理得，即，或（舍去），选B C D D C A. 【解析】试题分析：，故选A. 考点：抛物线的标准方程及其性质 二 、填空题 9 【解析】设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知，所以当满足的最小时就满足取最小值.由双曲线的图像可知当点共线时，满足最小.而即为的最小值，，故所求最小值为9. 4ab=1 . ①③④ 三 、解答题 解：（1）
∴椭圆C1的方程是：
（2）由|MP∣=|MF2∣，可知动点M的轨迹是以为准线，F2为焦点的抛物线，∴点M轨迹C2的方程是 …3分 （3）Q（0，0），设 ….3分 （当且仅当时等号成立）
又当，即时，， 故的取值范围是: （1）
∵|MN|＝8, ∴a＝4， 又∵|PM|＝2|MF|，∴e＝， ∴c＝2, b2＝a2－c2＝12， ∴椭圆的标准方程为 （2）①证明：
当AB的斜率为0时，显然∠AFM＝∠BFN＝0，满足题意；
当AB的斜率不为0时，设AB的方程为x＝my－8， 代入椭圆方程整理得(3m2＋4)ymy＋144＝0. △＝576(m), yA＋yB＝, yAyB＝. 则 , 而2myAyB－6(yA＋yB)＝2m·－6·＝0， ∴kAF＋kBF＝0，从而∠AFM＝∠BFN. 综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM＝∠BFN. ②方法一：
S△ABF＝S△PBF－S△PAF 即S△ABF＝， 当且仅当，即m＝±时（此时适合于△＞0的条件）取到等号。
∴△ABF面积的最大值是3. 方法二：
点F到直线AB的距离 ， 当且仅当，即m＝±时取等号。
解：（I）根据题意设双曲线的方程为 且, 解方程组得 所求双曲线的方程为 （II）当时，双曲线上显然不存在两个点关于直线对称；
当时，设又曲线上的两点M.N关于直线对称，. 设直线MN的方程为则M.N两点的坐标满足方程组 , 消去得 显然 即 设线段MN中点为 则. 在直线 即 即 的取值范围是. 解：(I)如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F1 F2中， ，E为PF1上一点，PE ＝ PF2，E F1 ＝2a，F1 F2 ＝ 2c，求.设PE ＝ PF2 ＝ EF2 ＝ x，F F2 ＝ ， ，，. ΔE F1 F2为等腰三角形，，于是， (II) （1）准线L交轴于，在中所以,所以，抛物线方程是 (3分) 在中有,所以 所以⊙M方程是：
(6分) （2）解法一 设 所以:切线；
切线 (8分) 因为SQ和TQ交于Q点所以 和成立 所以ST方程：
(10分) 所以原点到ST距离，当即Q在y轴上时d有最大值 此时直线ST方程是 所以 所以此时四边形QSMT的面积 说明：此题第二问解法不唯一，可酌情赋分． 只猜出“直线ST方程是”未说明理由的， 利用ＳＭＴＱ四点共圆的性质，写出以ＱＭ为直径的圆方程 两圆方程相减得到直线ＳＴ方程 以后步骤赋分参照解法一．
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